dmin>=e+1
   （2）在一个码组内纠正个t误码，要求最小码距
                          dmin>=2t+1
   （3）在一个码组内纠正t个误码，同时检测e个(e>=t)误码（当误码数大于t时就不能纠错，只能检测e个误码），要求最小码距
                          dmin>=t+e+1

1.4 汉明（Hamming)码

汉明码是1950年由美国贝尔实验室汉明提出来的，是第一个设计用来纠正错误的线性分组码，汉明码被广泛用于数字通信和数据存储系统中。
     对于奇偶校验的偶校验，我们用下式作为作为监督方程。          
                    
在接收端译码时，若S=0，就认为无错。
      若S=1，就认为有错。
这里称S为校正子（校验子），又称伴随式。
    在上例中，由于只有一位监督码元，一个监督方程，所以只能检错，无法纠错。
  汉明码（n,k)是一种可用于纠单个随机错误的循环编码。一般汉明码的参数如下：
     码长                   n=2^r-1
     信息位                 k=2^r-1-r
     监督位                 r=n-k，r是不小于3的任意正整数。
                             （因为要纠t位错误，dmin大于2t+1)
     最小汉明距离    d=3
下表是纠错一位的一般汉明码结构。

（7，4）汉明码的编码器和译码器
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该仿真原理图包含两个子系统，分别是（7，4）汉明码的编码器和译码器。仿真时的信号源采用了一个PROM，并由用户自定义数据内容，数据的输出由一个计数器来定时驱动，每隔一秒输出一个4位数据（PROM的8位仅用了其中4位），由编码器子系统编码转换后成为7位汉明码，经过并串转换后传输，其中的并串、串并转换电路使用了扩展通信库2中的时分复用合路器和分路器图符，该合路器和分路器最大为16位长度的时隙转换，这里定义为7位时隙。此时由于输入输出数据的系统数据率不同，因此必须在子系统的输入端重新设置系统采样率，将系统设置为多速率系统。因为原始4位数据的刷新率为1Hz，因此编码器的输入端可设置重采样率位10Hz，时分复用合路器和分路器的数据帧周期设为1秒，时隙数位7，则输出采样率为输入采样率的7倍，即70Hz。如果要加入噪声，则噪声信号源的采样率也应设为70Hz。

1.5 BCH码

BCH码是循环码的一个重要子类，它具有纠多个错误的能力，BCH码有严密的代数理论，是目前研究最透彻的一类码。它的生成多项式与最小码距之间有密切的关系，人们可以根据所要求的纠错能力t很容易构造出BCH码，它们的译码器也容易实现，是线性分组码中应用最普遍的一类码。

BCH码的生成多项式若图片无法显示请联系QQ3249114,本论文免费,转发请注明源于www.751com.cn

若循环码的生成多项式具有如下形式：

    ，这里t为纠错个数，为最小多项式，LCM表示取最小公倍式，则由此生成的循环码称之为BCH码。该码是以三个发现者博斯（Bose）、查德胡里（Chaudhuri）和霍昆格姆（Hocquenghem）名字的开头字母命名的。其最小码距dmin≥2t＋1，能纠t个错误。BCH的码长为n＝或的因子。码长为n＝的BCH码称为本原BCH码。码长为因子的BCH码称为非本原BCH码。对于纠t个错误的本原BCH码，其生成多项式为  。纠正单个错误的本原BCH码就是循环汉明码。

下面介绍几种常见的BCH码。

1、戈雷码（Golay）

  （23，12）码是一个特殊的非本原BCH码，称为戈雷码，它的最小码距7，能纠正3个错误，其生成多项式为。它也是目前为止发现的唯一能纠正多个错误的完备码。

2、扩展形式

实际应用中，为了得到偶数码长，并增加检错能力，可以在BCH码的生成多项式中乘D+1，从而得到（n+1，k+1）扩展BCH码。扩展BCH码相当于将原有BCH码再加上一位的偶校验，它不再有循环性。

3、缩短形式

几乎所以的循环码都存在它另一种缩短形式。实际应用中，可能需要不同的码长不是或它的因子，我们可以从 码中挑出前s位为0的码组构成新的码，这种码的监督位数不变，因此纠错能力保持不变，但是没有了循环性。

BCH译码

BCH码的译码方法可以有时域译码和频域译码两类。频移译码是把每个码组看成一个数字信号，把接受到的信号进行离散傅氏变换(DFT)，然后利用数字信号处理技术在“频域”内译码，最后进行傅氏反变换得到译码后的码组。时域译码则是在时域直接利用码的代数结构进行译码。BCH的时域译码方法有很多，而且纠多个错误的BCH码译码算法十分复杂。常见的时域BCH译码方法有彼得森译码、迭代译码等。BCH的彼得森译码基本过程为：1、用的各因式作为除式，对接收到的码多项式求余，得到t个余式，称为“部分校验式”。2、用t个部分校验式构造一个特定的译码多项式，它以错误位置数为根。3、求译码多项式的根，得到错误位置。4、纠正错误。

事实上，BCH码是一种特殊的循环码，因此它的编码器不但可以象其它循环码那样用除法器来实现，而且原则上所有适合循环码译码的方法也可以用于BCH码的译码。

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