S=jΩ，∞＜Ω＜∞   →    Z = , －π＜ω＜π

条件 ②为保持滤波器稳定性，S平面的左半平面必须映射到Z平面的单位圆内，即

Re[s]<0    →  |z|<1

下面介绍几种常用的映射方法：冲激响应不变法和双线性变换法。

(1) 冲激响应不变法       

     原理:

    冲激响应不变法是从时域出发，要求数字滤波器的冲激响应h(n)对应于模拟滤波器的冲激响应h_a(t)的抽样,即 h(n) = h_a(nT) ，其中T是抽样周期。

    变换过程为： H_a(s) → h_a(t)  → h(n)  →  H(z)

    这样由于数字滤波器的冲激响应 对应模拟滤波器冲激响应 的抽样，由抽样定理可知数字滤波器的频率响应为模拟滤波器频率响应的周期延拓:

                                                                             (2-16)

 其中,抽样频率为: 

                                                                                      (2-17)

    为了避免混叠失真要求模拟滤波器的频谱限带于折叠频率以内，即要满足:

                                                            (2-18)

    而实际的滤波器并非严格限带，所以用冲激响应不变法设计的数字滤波器不可避免地会产生混叠失真。所以此法只适于设计带限滤波器。

     冲激响应不变法的映射过程:

    冲激响应不变法设计数字滤波器的映射整个过程很复杂，由H_a(s)求H(z)不是简单的代数映射，这里存在多对一的映射关系。不能将 直接代入Ha(s)到 H(z)。

图2-12 冲击响应不变法映射关系

但是对于部分分式表达的模拟系统函数则比较方便。 

设模拟滤波器H_a(s)只有单极点，可以将 H_a(s)展成部分分式：

                                                                                                  (2-19)

    可以证明，通过H_a(s) → h_a(t)  → h(n)  →  H(z)变换可得：

                                                                                              (2-20)

    比较这两个公式可见：

    冲激响应不变法将S平面的单极点s=s_k映射到Z平面上 处的单极点。

    只有极点有这种简单映射关系（零点不满足这种简单的对应关系），因此我们可把模拟滤波器系统函数展开为并联形式，并利用下列变换关系完成数字滤波器系统函数设计：

                                                                                                (2-21)

    注意：数字滤波器的频率响应与抽样周期T成反比，当抽样频率很高时，将产生很高的增益，为稳定增益，故作如下修正，令h(n) = T h_a(nT)，则有：

                                                                   (2-22)          

此我们总结出，用冲激响应不变法设计IIR滤波器的一般流程：

1、根据设计要求，设定指标。

2、将数字滤波器性能指标变换为模拟滤波器的性能指标。

3、设计出符合要求的模拟滤波器的系统函数 H_a(s) 。

4、将 H_a(s) 展成部分分式的并联形式，利用变换关系公式设计出 H(z) 。

5、将H(z) 乘以抽样周期T，则完成数字滤波器系统函数的设计。

(2) 变换法

    双线性变换法是使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似的一种变换方法。

原理:

    了克服冲激响应不变法多值映射产生的频率混叠的现象，双线性变换法的映射原理是：

(1) 过下面的变换公式把整个S平面压缩到中介S₁平面的一条横带里（宽度从-π/T到π/T），其中C为常数可根据设计要求选取；

                                                  (2-23)

(2) 通过 将此横带变换到整个Z平面，这样就使S平面和Z平面是一一对应的单值映射关系，消除了频谱混叠现象。

图2-13 双线性变换法的映射关系

 

可以证明，从S平面到Z平面的映射关系为：

                          ，                   (2-24)

    由于从S→Z和从Z→S的映射规则都是分式线性变换，因此称其为双线性变换。

性能分析:

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